풀이
그림과 같은 단면에 전단력 50kN이 가해진 경우 중립축에서 상방향으로 100mm 떨어진 지점의 전단응력은?
정답: ④ 0.69 MPa 간략 해설: 전단력 V가 작용하는 보의 단면에서, 중립축으로부터 y만큼 떨어진 위치의 전단응력은 τ = VQ / (Ib) 를 사용한다. 그림의 단면은 폭 b=200 mm, 전체 높이 h=50+100+150=300 mm인 직사각형이고, 중립축은 중앙(위·아래 각각 150 mm)이다. 중립축에서 위로 100 mm 지점은 상단에서 50 mm 아래이므로, 그 지점 위쪽 면적(두께 50 mm)을 이용해 Q를 구해 계산하면 τ ≈ 0.694 MPa → 0.69 MPa가 된다. (1) 단면 치수 b = 200 mm h = 50 mm + 100 mm + 150 mm = 300 mm 중립축은 중앙 → 상단까지 150 mm (2) 구하고자 하는 위치 중립축에서 위로 100 mm → 상단에서 150-100 = 50 mm 아래 지점 따라서 그 지점 “위쪽 면적”의 높이 t = 50 mm (3) 위쪽 면적 A A = b·t = 200 mm × 50 mm = 10000㎟ (4) 위쪽 면적 도심의 중립축까지 거리 ybar 위쪽 구간은 y=100 mm ~ 150 mm (중립축 기준) ybar = (100 + 150) / 2 mm = 125 mm (5) 1차 모멘트 Q Q = A·ybar = 10000㎟ × 125 mm = 1250000 ㎣ (6) 단면2차모멘트 I (직사각형) I = b h^3 / 12 = 200 mm × (300 mm)^3 / 12 = 200 × 27000000 / 12 mm^4 = 5400000000 / 12 mm^4 = 450000000 mm^4 (7) 전단력 V V = 50 kN = 50000 N (8) 전단응력 τ τ = VQ / (Ib) = 50000 N × 1250000 ㎣ / (450000000 mm^4 × 200 mm) 분자: 50000 × 1250000 = 62500000000 N·㎣ 분모: 450000000 × 200 = 90000000000 mm^5 따라서 τ = 62500000000 / 90000000000 N/㎟ = 0.694444... N/㎟ = 0.694444... MPa ≈ 0.69 MPa
